Von der Reduktion arithmetischer Operationen auf die vorzeichenbehaftete Addition

Abstract

Dieses Werk zeigt, dass sich alle vier grundlegenden arithmetischen Operationen – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – auf eine einzige primitive Struktur zurückführen lassen: die Addition mit expliziter Vorzeichensemantik. Durch die Trennung von Operator und Vorzeichen wird sichtbar, dass die übrigen Operationen keine eigenen Mechanismen benötigen, sondern Varianten iterierter oder negierter Additionsschritte darstellen. Dieses Modell stimmt sowohl mit der mathematischen Struktur wie auch mit der Architektur digitaler Recheneinheiten überein.

Inhaltsübersicht (HTML-Kurzfassung)

• 1. Einleitung
• 2. Das Modell der Operator–Vorzeichen-Trennung (OSSM)
• 3. Subtraktion als negative Addition
• 4. Multiplikation als wiederholte Addition
• 5. Division als wiederholte negative Addition
• 6. Universelle Vorzeichenlogik
• 7. Didaktische Implikationen
• 8. Rechnerarchitektonische Perspektive
• 9. Das Framework der signierten Addition (SAF)
• 10. Schlussfolgerungen
• 11. Referenzen
• 12. Glossar

Einleitung

Die traditionelle Trennung zwischen den vier Grundrechenarten verdeckt, dass diese Operationen strukturell auf eine einzige gerichtete Akkumulationsoperation zurückgeführt werden können. Subtraktion ist Addition eines negierten Wertes, Multiplikation ist wiederholte Addition, Division ist inverse Wiederholung derselben. Diese Sichtweise reduziert kognitive Komplexität, erhöht didaktische Klarheit und entspricht exakt der Funktionsweise digitaler Hardware.

Kernaussagen

• Subtraktion ist a + (–b) und besitzt keinen eigenen mechanistischen Status.
• Multiplikation ist kontrollierte Wiederholung identischer Additionsschritte.
• Division ist Zählen negativer Additionsschritte bis zur Null.
• Vorzeichen regeln ausschließlich Richtung, nicht den Operationstyp.
• Addierer sind die elementare Hardwareprimitive aller Prozessoren.

Glossar (Auszug)

• Signierte Addition: Addition, deren Ergebnisrichtung durch das Vorzeichen bestimmt wird.
• OSSM: Modell der operator–vorzeichen-getrennten Arithmetik, Grundlage des Frameworks.
• SAF: Signed Addition Framework; ordnet alle Operationen der gerichteten Akkumulation zu.
• Negation: Richtungsumkehr einer Zahl, nicht neue Operation.

Zitierhinweis

Stepan, R. (2025). Von der Reduktion arithmetischer Operationen
auf die vorzeichenbehaftete Addition.
Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.17679458