Zur Reduktion arithmetischer Operationen auf die signierte Addition

Abstract

Dieses Werk zeigt, dass sich arithmetische Grundoperationen auf eine primitive Struktur zurückführen lassen: die Addition mit expliziter Vorzeichensemantik. Durch die Trennung von Operator und Vorzeichen wird sichtbar, dass Subtraktion, Multiplikation und Division keine eigenen Mechanismen benötigen, sondern Varianten iterierter oder negierter Additionsschritte darstellen. Dieses Modell stimmt sowohl mit der mathematischen Struktur als auch mit der Architektur digitaler Recheneinheiten überein.

Inhaltsübersicht (HTML-Kurzfassung)

• 1. Einleitung
• 2. Das Modell der Operator–Vorzeichen-Trennung (OSSM)
• 3. Subtraktion als negative Addition
• 4. Multiplikation als wiederholte Addition
• 5. Division als wiederholte negative Addition
• 6. Universelle Vorzeichenlogik
• 7. Didaktische Implikationen
• 8. Rechnerarchitektonische Perspektive
• 9. Das Framework der signierten Addition (SAF)
• 10. Schlussfolgerungen
• 11. Referenzen
• 12. Glossar

Einleitung

Die traditionelle Trennung zwischen den Grundrechenarten verdeckt, dass diese Operationen strukturell auf eine gerichtete Akkumulationsoperation zurückgeführt werden können. Subtraktion ist Addition eines negierten Wertes, Multiplikation ist wiederholte Addition, Division ist inverse Wiederholung derselben.

Kernaussagen

• Subtraktion ist a + (–b) und besitzt keinen eigenen mechanistischen Status.
• Multiplikation ist kontrollierte Wiederholung identischer Additionsschritte.
• Division ist Zählen negativer Additionsschritte bis zur Null.
• Vorzeichen regeln ausschließlich Richtung, nicht den Operationstyp.
• Addierer sind die elementare Hardwareprimitive aller Prozessoren.

Glossar (Auszug)

• Signierte Addition: Addition, deren Ergebnisrichtung durch das Vorzeichen bestimmt wird.
• OSSM: Modell der Operator–Vorzeichen-Trennung als Grundlage des Frameworks.
• SAF: Signed Addition Framework; ordnet Operationen der gerichteten Akkumulation zu.
• Negation: Richtungsumkehr einer Zahl, keine neue Operation.

Zitierhinweis

Stepan, R. (2025). Zur Reduktion arithmetischer Operationen auf die signierte Addition.
Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.17679458